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Les puissances (en Maths)

Définitions et rappels

Les puissances d’un nombre c’est ce nombre multiplié par lui même un certain nombre de fois. Le nombre de fois donne…la puissance.

Ainsi 4×4x4 se dit ‘quatre puissance trois’ et vaut…64
3×3x3×3 se dit 3 puissance quatre, et vaut 3×3 : 9, 9×9…81

on remarque en passant que 3 puissance 4 ne donne pas le même résultat que 4 puissance 3. On dit que la puissance n’est pas commutative (on ne peut pas permuter les nombres sans changer le résultat). La division c’est pareil 4 divisé par  2 ca fait 2 ,mais 2 divisé par 4…ca fait pas 2. Par contre l’addition c’est commutatif 2 + 3 = 3 + 2 …mais on s’éloigne du sujet !

Dans la suite on notera 3 puissance 4 : 3p4 pour aller + vite.
Puissances de 10

Les puissances de 10 on les aime tous bien parce qu’on calcule TOUS en base 10, avec des unités, des centaines, des milliers, etc.
Comme vous le savez sans doute si vous utilisez une calculatrice, les puissances de 10 on se les représente assez bien, car la puissance indique le nombre de 0 derriere le 1. Ainsi 10p3 c’est un 1 avec 3 zéros derrière , c.a.d 1000 (mille).
De même 10p6, c’est un 1 avec 6 zéros derrière c.a.d 1000000 (un million)
Les règles de calcul sur les puissances

1) lorsqu’on multiplie une puissance d’un nombre par une puissance du même nombre les puissances s’ajoutent !

remarque : les nombres doivent être les mêmes, les puissances peuvent être égales ou différentes
exemples :

* 10p3 x 10p3 = 10p6
* 10p2×10p2 = 10p4 mais ça marche aussi avec les puissances de 2 ou de 3 :
* 2p4 x 2p3 = 2p7
* 3p2 x3p8=3p10

on peut faire un semblant de démonstration par l’exemple :

10p3 x 10p3 = (10×10x10) x (10×10x10) = 1000×1000= 1000000 = 10p6 et puissance 6 c’est bien puissance 3+3 ! (mais on le savait que 1000 x 1000 ca fait un million!)
2p4 x 2p3 = (2×2x2×2) x (2×2x2) = 2p7 et puissance 7 c’est bien puissance 4+3

Attention :

* ca ne marche pas avec les additions :
2p3 + 2p2 = 2×2x2 + 2×2= 8+4= 12 qui n’est pas 2p5 et qui n’est même pas une puissance de 2 !
* ca ne marche avec les multiplications si les nombres sont différents
2p3 x 3p2 = ?? = 2×2x2 x 3×3 = 8 + 9 = 17 !

2) lorsqu’on divise une puissance d’un nombre par une puissance du même nombre les puissances se soustraient !

exemples :

* 10p5 / 10p2 = 10p3
* 2p6 / 2p4 = 2p3
* 3p20 / 3p3 = 3p17

on peut (encore!) faire un semblant de démonstration par l’exemple :

10p5 / 10p2 = 10×10x10×10x10 / 10×10 on peut simplifier par 10×10 il reste 10×10x10 soit 10p3 ou 10 puissance 5 – 2 !
on aurait pu aller + vite : 10p5 / 10p2 = 100000 /100 = 1000 = 10p3
2p6 /2p4 = 2×2x2×2x2×2 / 2×2x2×2 on peut simplifier par 2×2x2×2 il reste 2×2 soit 2p2 ou 2p(6-4)
ou d’une autre façon : 2p6 /2p4 = 64 / 16 = 4= 2p2

3) toujours + fort : n’importe quel nombre à la puissance 0 ça fait 1

exemples :

* 2p0 = 1
* 8p0 = 1
* 43p0=1
* 12000000p0=1

il suffit d’appliquer la règle précédente, à savoir qu’une soustraction de puissance c’est pareil qu’une division de nombre:

2p0 c’est par exemple 2p(3-3) = 2p3 / 2p3 = 8:8 = 1 !
8 p0 c’est aussi 8p(2-2) = 8p2 / 8p2 = 1 (ca marche aussi)
ou on aurait pu choisir n’importe quelle soustraction qui fait 0 :
8p0 = 8p(12-12) = 8p12 / 8p12 = 1 !

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