La théorie des ensembles en mathématiques, qui a fait pleurer des millions de jeunes de ma génération, en pénétrant violemment dans les salles de collège des années 70, a fait de remarquables avancées notamment grace au cas particulier des super ensembles, ou ensemble d’ensembles, éminemment auto référents.
Ces ensembles d’ensembles ont mis à jour des paradoxes en Mathématiques et ouvert la porte à des petits malins comme Kurt Gödel, pour ébranler (Mathématiquement !!!) l’édifice entier des Mathématiques.
Nous y reviendrons, mais voyons en d’abord une application simple, en la personne du très célèbre et néanmoins paradoxal barbier crétois.

Le barbier Crétois

Le barbier Crétois, rase tous les crétois qui ne se rasent pas eux même (et uniquement ceux la).

Un empêcheur de raser en rond pose alors la question :  » mais qui rase le barbier alors ?  »
Facile : si le barbier se rase lui même, alors il rase quelqu’un qui se rase lui même ce qu’il n’a pas le droit de faire. Bon, et s’il ne se rasait pas lui même ? Alors il serait obligé de se faire raser par le barbier qui rase tous ceux qui ne rasent pas eux même. Ce petit problème n’a donc pas de solution no paradoxale, dans le petit monde crétois…

Cercle vicieux ou spirale virtueuse ?

auto référence pure
Tout le monde connait l’effet feed-back en video, on peut en expérimenter les effets avec un simple miroir à la main, dos à un …miroir. Si on tient correctemnt le miroir légèrement décale et bien orienté on peut voir de manière apocalyptique sa propre image se refleter à l’infini, en rebondissant dans les 2 surface réfléchissantes. Si le mirroir à main est parfaitement en face de l’autre mirroir il ne se passe rien, puisque les signaux sont complètement symétriques l’un de l’autre et que concrètement votre visage masque le 2eme mirroir. Un léger décalage de l’axe déclenche le processus.

récursivité
La récursivité c’est définir un objet en fonction de lui-même, de manière donc auto référente mais aussi ET SURTOUT de définir les limites de cette auto référence (qui peut être une condition initiale ou un point d’arrêt…)

En conclusion : une spirale virtueuse c’est un cercle vicieux qui avance mais qui sait aussi s’arrêter !

L’exemple de la factorielle en mathématiques

La factorielle est une fonction mathématique intéressante, d’abord parce qu’elle est simple à définir et à comprendre (mais pas forcément à calculer pour de grands nombres) et ensuite parce qu’elle est bien utile.

Définition simple de factorielle

La factorielle d’un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre, par son prédecesseur, lui même multiplié par son prédécesseur et ainsi jusqu’a multiplier par 1. La factorielle est définie, ou calculable seulement pour les nombres entiers positifs (plus grands ou égaux à 0). La factorielle d’un nombre n s’écrit en raccourci n!
exemple : factorielle de 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 et 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Utilité de factorielle

Cette fonction sert très souvent dans les problèmes de statistiques, et plus précisément dans les problèmes de calcul de nombre de combinaisons, appelés problèmes de dénombrement . Ainsi si j’ai 3 couleurs rouge (R), Vert (V) et Bleu (B) et que je veux savoir combien j’ai de possibilités différentes pour associer ces 3 couleurs je peux réfléchir et comptabliser une par une les solutions, en essayant de ne pas me répéter et surtout…de ne pas en oublier :

RVB, BVR, BRV, RBV, VRB, VBR si je ne me suis pas trompé il en a 6.

Et bien les mathématiciens nous disent et même nous démontrent (mais ce n’est pas l’objet ici) que ce n’était pas la peine de ce fatiguer pour 3 couleurs il y a FACTORIELLE 3 combinaisons !
Sur cet exemple simple on s’en sortait assez bien sans connaitre factorielle, mais en exercice amusez vous à faire la liste de toutes les combinaisons possible des 4 couleurs R,V,B et J (Jaune). Vous savez maintenant, qu’il y en a 4! = 24 c’est déjà pas mal…

Factorielle une fonction (vraiment) récursive

Si on regarde de près on s’aperçoit que pour calculer le 6! précédent on aurait pu moins se fatiguer (il est de notoriété publique que les plus feinéants sont les plus intelligents). 5! c’est par définition 5 x 4 x 3 x 2 x 1 mais on a vu que 4! = 4 x 3 x 2 x 1 donc 5! n’est pas autre chose que 5 x 4! c’est tout de même plus facile à écrire. C’est aussi plus facile à calculer quand on connait 4!
En résumé la factorielle peut toujours se définir en fonction de la factorielle précédente. Et si factorielle se définit grace…à factorielle c’est bien une fonction auto référente : 10! = 10 x 9! 45! = 45 x 44! 1230! = 1230 x 1229! etc.

Définition générale de factorielle

nous ne nous intéressons plus ici à des exemples de résultat de facoriellel pour un nombre précis, mais à factorielle pour un nombre quel qu’il soit que nous appelleront ‘n’ .

Définition complète ou exhaustive ( »en extension » disent les matheux)
D’après les quelques xexmples des paragraphes précédents on peutrapidement déduire que :

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x …………………………..x 3 x 2 x1

Définition compacte ou récursive ( »en compréhension » disent les matheux)

n! = n x (n -1)! et 0! = 1

C’est la définition que nous retiendrons. Mais est elle vraiment suffisante ? Permet elle de calculer n’importe quelle factorielle ? et d’ou sort ce 0! = 1 ? et à quoi sert il ?

De la puissance de la définition récursive…et de l’utilité d’un point d’arrêt

essayons de (re) calculer 4! avec cette simple définition :

4! = 4 x 3! or 3! = 3 x 2! or 2! = 2 x 1! or 1! = 1 x 0! et l’on sait par définition que 0! = 1
maintenant qu’on a enfin trouvé un résultat qui se suffit à lui même et ne fait pas une nouvelle fois appel à factorielle on peut remonter à l’envers :

donc 1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1 donc 2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2 donc 3! = 3 X 2 = 6 donc 4! = 4 X 6 = 24 CQFD

Cette définition récursive très courte à donc suffi à calculer de manière mécanique 4! , mais pour cela il a fallu conserver toutes les étapes intermédiaires du calcul pour pouvoir « remonter le calcul à l’envers ». En d’autres termes (plus utilisés en informatique) à chaque fois, factorielle s’appelle elle même mais avec des valeurs différentes, dans un contexte différent.
Il est très important de noter ici encore que :

• c’est la modification au sein de la boucle (le nombre dont on calcule la factorielle qui diminue de 1 à chaque tour) qui permet au processus d’avancer.
  En l’occurence une définition du type n! = n x n! ne permettrait qu’une boucle infinie de calcul sans aucun résultat. Et que l’on rajoute ou pas une clause du style 0! = 1 n’y changerait rien…
• si nous n’avions pas connu au moins une valeur de factorielle, en l’occurence 0! =1 , ce processus d’auto appel de factorielle se serait sans doute arrété mais n’aurait pas donné de résultat

Johann Sebastian Bach (21 mars 1685 – 28 juillet 1750),  est un compositeur, claveciniste et organiste allemand.

Compositeur de l’époque baroque dont il symbolise et personnifie l’apogée, il eut une influence majeure et durable dans le développement de la musique occidentale ; de grands compositeurs, tels que Mozart et Beethoven, reconnurent en lui un maître insurpassable.

Son œuvre est remarquable en tous points : par sa rigueur et sa richesse harmonique, mélodique ou contrapuntique, sa perfection formelle, sa maîtrise technique, sa pédagogie, la hauteur de son inspiration et le nombre de ses compositions. Elle échappe à la gradation traditionnelle avec la formation, la période de maturité puis le déclin : la qualité des œuvres de jeunesse égale celle des compositions plus tardives.

Il fut un musicien complet qui maîtrisait la facture des instruments tout autant que la technique instrumentale, la composition comme l’improvisation, la pédagogie comme la gestion d’une institution musicale.

d’apres Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Bach

Canons

Un canon est une forme musicale polyphonique ainsi qu’un procédé compositionel basé sur l’imitation, dans lequel une idée musicale — le thème — s’énonce et se développe d’une voix à une autre, de sorte que les différentes voix interprètent la même ligne mélodique, mais de manière différée : ce décalage produit une superposition de mélodies, c’est-à-dire, un contrepoint.

• Les différentes parties d’un canon peuvent se succéder à l’unisson — cas le plus répandu —, mais également à d’autres intervalles — octave ou quinte, principalement.

• Exemple de la chanson enfantine Frère Jacques ; début du canon :

d’apres Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Canon_(musique)

/wiki/Fugue#Un_pas_de_plus_vers_la_fugue_:_le_canon )

La fugue

La fugue dans sa forme conventionnelle actuelle, c’est-à-dire telle que l’a léguée Bach, est en soi la résolution d’un problème de structure et de cohérence non résolu par les formes préexistantes. Le ricercare, le motet et autres formes anciennes souffraient d’un manque d’unité que la fugue, au sens moderne du mot, résout par une architecture aboutie dont Bach est considéré comme ayant définitivement fixé le cadre. La 16^e fugue (en sol mineur) du premier livre du Clavier bien Tempéré est très proche de cette forme archétypale, c’est cette forme qui est encore aujourd’hui employée à l’école.

L’analyse des grandes fugues fait apparaître, comme en toute forme musicale, une structure que l’on peut considérer comme un modèle dont le compositeur, dès lors qu’il le maîtrise, ne peut s’écarter qu’avec des arguments artistiques irréfutables. Nous allons donc décrire ici succinctement (une analyse plus approfondie exigerait un véritable cours de composition) ce qu’il est convenu d’appeler la fugue d’école.

La fugue commence par l’exposition d’un thème, dit « sujet »,

suivi de ce que l’on appelle la « réponse »,
qui n’est autre que le sujet répété au ton, soit de la dominante, soit plus rarement de la sous dominante, par une autre voix. Cette réponse est accompagnée par la première,

qui expose alors ce que l’on appelle le contre-sujet,
qui n’est qu’un accompagnement du sujet en contrepoint renversable. On appelle contrepoint renversable une mélodie dont l’accompagnement peut être placé sans incorrection au dessus ou en dessous de celle-ci. Cette exigence entraîne d’épineuses difficultés d’écriture.

Lorsque les trois ou quatre voix (voire cinq) ont exposé le thème,
survient alors, après des « divertissements » prenant généralement la forme de marches harmoniques (lesquels utilisent généralement des fragments du sujet ou du contre-sujet),

le développement.
Toute sortes de procédés d’écriture sont alors mis à contribution pour utiliser, voire déformer, le sujet ou le contre-sujet: variations, mutations, ornements, « minorisation » ou « majoration », etc. Cette partie de la fugue permet une plus grande liberté apparente. La cadence finale approchant, sont souvent utilisées ce que l’on appelle des strettes, autrement dit des canons où le sujet se chevauche lui-même, révélant alors qu’il a été écrit préalablement en prévision de cet épisode canonique.

Voici, à titre d’exemple, les premières mesures de la fugue en la mineur pour clavecin de Johann Sebastian Bach BWV.895,2 :

(d’apres Wikipedia : http://fr.wikipedia.org

DROST effect
http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=291

http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/

Autoréférence
http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Autoreference.htm

Pangrammes
http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Pan2.htm

palindromes
http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Palin2.htm

Oulipo, textes de Nicolas Graner
http://graner.net/nicolas/OULIPO/

Littérature :

Jean Ray : Malpertuis
André Gide : Palude
R. Queneau : exercice de style (ampoulé)

Jazzman utilisant canons et contrepoints :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moondog

Un directeur de société, appelle sa secrétaire et lui dit :
- Vanessa, j’ai un séminaire à Rome pendant une semaine et je veux que vous m’accompagniez. Vous connaîtrez ainsi mieux notre société et nos associés… Veuillez préparer le voyage, s’il vous plaît.
Vanessa, la secrétaire, appelle son mari et lui dit :
- Philippe mon chéri, je pars pendant une semaine à Rome avec mon directeur pour un séminaire. Tu resteras seul mon chéri, sois patient !
Aussitôt Philippe, le mari de Vanessa, appelle sa maîtresse et lui dit :
- Florence, mon trésor, la sorcière part à l’étranger pendant une semaine. Nous aurons une semaine tout à nous ma reine…
La maîtresse Florence, appelle aussitôt l’élève auquel elle donne des cours particuliers et lui dit :
- Manuel, j’ai beaucoup trop de travail la semaine prochaine, je ne pourrais pas assurer tes cours particuliers. Ne viens pas en cours
Manuel appelle son grand-père et lui dit :
- Grand-père, la semaine prochaine je n’ai pas cours. Mon professeur Florence a beaucoup de travail. Cela tombe bien, on va, enfin, pouvoir passer une semaine ensemble.
Le grand-père (qui n’est autre que le Directeur de cette histoire) rappelle sa secrétaire Vanessa et lui dit :
- Vanessa, suspendez la préparation du voyage à Rome, je vais passer la semaine prochaine en compagnie de mon petit-fils que je n’ai pas vu depuis bien longtemps. Nous n’irons pas au séminaire. Annulez toutes les réservations, hôtel, avion,etc.
La secrétaire rappelle son mari et lui dit :
- Philippe, ce clown de directeur a changé d’avis, il vient d’annuler le voyage. Rome c’est fichu.
Le mari rappelle aussitôt sa maîtresse, Florence, et  lui dit :
- Mon amour, excuse moi, nous ne passerons pas la semaine prochaine ensemble. Le voyage de ma « conne » de femme a été annulé !
Le professeur appelle aussitôt son élève Manuel et lui dit :
- Manuel, écoute bien, j’ai pu arranger mon emploi du temps. La semaine prochaine je pourrai assurer tes cours particuliers habituels.
Le garçon rappelle son grand-père (le directeur de société) et lui dit :
- Grand père, cette « lourdasse » de professeur vient de me dire que la semaine prochaine elle pourra me dispenser ses cours particuliers ! Excuse-moi, je ne pourrais pas passer la semaine prochaine en ta compagnie.
Le grand-père (directeur) rappelle sa secrétaire et lui dit :
- Mon petit-fils Manuel vient de me dire qu’il ne pourra pas être avec moi la semaine prochaine : Il reprend ses cours. Reprenez la préparation du voyage, les réservations pour le séminaire à Rome : Nous y allons !!!

Merci à Olivier qui m’a transmis cette histoire.