La théorie des ensembles en mathématiques, qui a fait pleurer des millions de jeunes de ma génération, en pénétrant violemment dans les salles de collège des années 70, a fait de remarquables avancées notamment grace au cas particulier des super ensembles, ou ensemble d’ensembles, éminemment auto référents.
Ces ensembles d’ensembles ont mis à jour des paradoxes en Mathématiques et ouvert la porte à des petits malins comme Kurt Gödel, pour ébranler (Mathématiquement !!!) l’édifice entier des Mathématiques.
Nous y reviendrons, mais voyons en d’abord une application simple, en la personne du très célèbre et néanmoins paradoxal barbier crétois.

Le barbier Crétois

Le barbier Crétois, rase tous les crétois qui ne se rasent pas eux même (et uniquement ceux la).

Un empêcheur de raser en rond pose alors la question :  » mais qui rase le barbier alors ?  »
Facile : si le barbier se rase lui même, alors il rase quelqu’un qui se rase lui même ce qu’il n’a pas le droit de faire. Bon, et s’il ne se rasait pas lui même ? Alors il serait obligé de se faire raser par le barbier qui rase tous ceux qui ne rasent pas eux même. Ce petit problème n’a donc pas de solution no paradoxale, dans le petit monde crétois…

Cercle vicieux ou spirale virtueuse ?

auto référence pure
Tout le monde connait l’effet feed-back en video, on peut en expérimenter les effets avec un simple miroir à la main, dos à un …miroir. Si on tient correctemnt le miroir légèrement décale et bien orienté on peut voir de manière apocalyptique sa propre image se refleter à l’infini, en rebondissant dans les 2 surface réfléchissantes. Si le mirroir à main est parfaitement en face de l’autre mirroir il ne se passe rien, puisque les signaux sont complètement symétriques l’un de l’autre et que concrètement votre visage masque le 2eme mirroir. Un léger décalage de l’axe déclenche le processus.

récursivité
La récursivité c’est définir un objet en fonction de lui-même, de manière donc auto référente mais aussi ET SURTOUT de définir les limites de cette auto référence (qui peut être une condition initiale ou un point d’arrêt…)

En conclusion : une spirale virtueuse c’est un cercle vicieux qui avance mais qui sait aussi s’arrêter !

L’exemple de la factorielle en mathématiques

La factorielle est une fonction mathématique intéressante, d’abord parce qu’elle est simple à définir et à comprendre (mais pas forcément à calculer pour de grands nombres) et ensuite parce qu’elle est bien utile.

Définition simple de factorielle

La factorielle d’un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre, par son prédecesseur, lui même multiplié par son prédécesseur et ainsi jusqu’a multiplier par 1. La factorielle est définie, ou calculable seulement pour les nombres entiers positifs (plus grands ou égaux à 0). La factorielle d’un nombre n s’écrit en raccourci n!
exemple : factorielle de 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 et 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Utilité de factorielle

Cette fonction sert très souvent dans les problèmes de statistiques, et plus précisément dans les problèmes de calcul de nombre de combinaisons, appelés problèmes de dénombrement . Ainsi si j’ai 3 couleurs rouge (R), Vert (V) et Bleu (B) et que je veux savoir combien j’ai de possibilités différentes pour associer ces 3 couleurs je peux réfléchir et comptabliser une par une les solutions, en essayant de ne pas me répéter et surtout…de ne pas en oublier :

RVB, BVR, BRV, RBV, VRB, VBR si je ne me suis pas trompé il en a 6.

Et bien les mathématiciens nous disent et même nous démontrent (mais ce n’est pas l’objet ici) que ce n’était pas la peine de ce fatiguer pour 3 couleurs il y a FACTORIELLE 3 combinaisons !
Sur cet exemple simple on s’en sortait assez bien sans connaitre factorielle, mais en exercice amusez vous à faire la liste de toutes les combinaisons possible des 4 couleurs R,V,B et J (Jaune). Vous savez maintenant, qu’il y en a 4! = 24 c’est déjà pas mal…

Factorielle une fonction (vraiment) récursive

Si on regarde de près on s’aperçoit que pour calculer le 6! précédent on aurait pu moins se fatiguer (il est de notoriété publique que les plus feinéants sont les plus intelligents). 5! c’est par définition 5 x 4 x 3 x 2 x 1 mais on a vu que 4! = 4 x 3 x 2 x 1 donc 5! n’est pas autre chose que 5 x 4! c’est tout de même plus facile à écrire. C’est aussi plus facile à calculer quand on connait 4!
En résumé la factorielle peut toujours se définir en fonction de la factorielle précédente. Et si factorielle se définit grace…à factorielle c’est bien une fonction auto référente : 10! = 10 x 9! 45! = 45 x 44! 1230! = 1230 x 1229! etc.

Définition générale de factorielle

nous ne nous intéressons plus ici à des exemples de résultat de facoriellel pour un nombre précis, mais à factorielle pour un nombre quel qu’il soit que nous appelleront ‘n’ .

Définition complète ou exhaustive ( »en extension » disent les matheux)
D’après les quelques xexmples des paragraphes précédents on peutrapidement déduire que :

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x …………………………..x 3 x 2 x1

Définition compacte ou récursive ( »en compréhension » disent les matheux)

n! = n x (n -1)! et 0! = 1

C’est la définition que nous retiendrons. Mais est elle vraiment suffisante ? Permet elle de calculer n’importe quelle factorielle ? et d’ou sort ce 0! = 1 ? et à quoi sert il ?

De la puissance de la définition récursive…et de l’utilité d’un point d’arrêt

essayons de (re) calculer 4! avec cette simple définition :

4! = 4 x 3! or 3! = 3 x 2! or 2! = 2 x 1! or 1! = 1 x 0! et l’on sait par définition que 0! = 1
maintenant qu’on a enfin trouvé un résultat qui se suffit à lui même et ne fait pas une nouvelle fois appel à factorielle on peut remonter à l’envers :

donc 1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1 donc 2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2 donc 3! = 3 X 2 = 6 donc 4! = 4 X 6 = 24 CQFD

Cette définition récursive très courte à donc suffi à calculer de manière mécanique 4! , mais pour cela il a fallu conserver toutes les étapes intermédiaires du calcul pour pouvoir « remonter le calcul à l’envers ». En d’autres termes (plus utilisés en informatique) à chaque fois, factorielle s’appelle elle même mais avec des valeurs différentes, dans un contexte différent.
Il est très important de noter ici encore que :

• c’est la modification au sein de la boucle (le nombre dont on calcule la factorielle qui diminue de 1 à chaque tour) qui permet au processus d’avancer.
  En l’occurence une définition du type n! = n x n! ne permettrait qu’une boucle infinie de calcul sans aucun résultat. Et que l’on rajoute ou pas une clause du style 0! = 1 n’y changerait rien…
• si nous n’avions pas connu au moins une valeur de factorielle, en l’occurence 0! =1 , ce processus d’auto appel de factorielle se serait sans doute arrété mais n’aurait pas donné de résultat

L’occasion également de laiser quelques ouvrages en dépot vente au rayon…Marseille !

Tout s’est terminé autour d’un pôt très convivial dans la cour intérieure de Vincent et Christophe, qui ont comme a leur habitude été des hôtes charmants.

Le thème 2009 : Connaissez vous le littoral Marseillais et ses îles ?

Un extrait ici :

<< Le vieux-port est encadré de monuments aussi nombreux que remarquables: d’un coté le Fort Saint-Jean, la tour du Fanal, et de l’autre le Fort Saint-Nicolas, l’église Saint-Victor, et tant d’autres…
Ici, le palais du Pharo. De ses pelouses on a l’une des plus belles vues sur la ville de Marseille.
Ce magnifique bâtiment qui domine le Port, fut commandé par Napoléon III, et devint résidence impériale (mais fut malheureusement très peu visité par son illustre commanditaire), puis utilisé comme locaux pour l’école de Médecine, avant d’être réhabilité et devenir un centre de congrès.
Savez-vous à quel architecte nous devons sa réalisation ? >>

réponse : Lefuel, architecte de l’empereur, qui également rénova le Louvre…

Pour paraphraser Queneau, il existait par le passé quelques contraintes qui avaient fait leurs preuves en terme de production littéraire (alexandrins, règles du sonnet, 3 unités du théatre, etc.)  et il convenait d’en inventer de nouvelles.
Si vous voulez en savoir plus oulipo.net vous dira tout !

Quelques exemples de contraintes ‘classiques’ suivent avec leur définition et DD a péniblement essayer d’en illustrer quelques unes dans les articles qui suivent…

Pangramme
Phrase verbale minimale syntaxiquement correcte, sans nom propre qui utilise toutes les lettres de l’alphabet au moins une fois. Le record absolu et non atteint à ce jour serait une phrase de…26 lettres !
exemples:
« portez ce vieux whisky au juge blond qui fume »

Palindrome
Texte qui se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche

Les très classiques :

« Esope reste ici et se repose »

« Tu l’as trop écrasé Cesar ce Port Salut ! »

et le magnifique et impressionnant(1247 mots) palyndrome de Georges Perec, le plus long palyndrome francophone au monde, et qui intelligemment commence ainsi : « Trace l’inégal palindrome. Neige. Bagatelle, dira
Hercule. Le brut repentir, cet écrit né Perec. L’arc
lu pèse trop, lis à vice versa… »

et se termine par

… »Désire ce trépas rêvé: Ci va ! S’il porte, sépulcral, ce repentir, cet écrit ne perturbe le lucre: Haridelle, ta gabegie ne mord ni la plage ni l’écart. »

Pour le texte intégral voir ici

Lipogramme
Texte excluant une ou plusieurs voyelle.
« La disparition » de Georges Perec, est un Lipopogramme en ‘e’ de 250 pages !! ET donc un roman intelligible et intelligent qui exclut la lettre la plus fréqunete de la langue Française
« Caramba!, clama Zappata » (extrait de Georges Perec) est un lipogramme en ‘e,i,o, u,y’

Johann Sebastian Bach (21 mars 1685 – 28 juillet 1750),  est un compositeur, claveciniste et organiste allemand.

Compositeur de l’époque baroque dont il symbolise et personnifie l’apogée, il eut une influence majeure et durable dans le développement de la musique occidentale ; de grands compositeurs, tels que Mozart et Beethoven, reconnurent en lui un maître insurpassable.

Son œuvre est remarquable en tous points : par sa rigueur et sa richesse harmonique, mélodique ou contrapuntique, sa perfection formelle, sa maîtrise technique, sa pédagogie, la hauteur de son inspiration et le nombre de ses compositions. Elle échappe à la gradation traditionnelle avec la formation, la période de maturité puis le déclin : la qualité des œuvres de jeunesse égale celle des compositions plus tardives.

Il fut un musicien complet qui maîtrisait la facture des instruments tout autant que la technique instrumentale, la composition comme l’improvisation, la pédagogie comme la gestion d’une institution musicale.

d’apres Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Bach

Canons

Un canon est une forme musicale polyphonique ainsi qu’un procédé compositionel basé sur l’imitation, dans lequel une idée musicale — le thème — s’énonce et se développe d’une voix à une autre, de sorte que les différentes voix interprètent la même ligne mélodique, mais de manière différée : ce décalage produit une superposition de mélodies, c’est-à-dire, un contrepoint.

• Les différentes parties d’un canon peuvent se succéder à l’unisson — cas le plus répandu —, mais également à d’autres intervalles — octave ou quinte, principalement.

• Exemple de la chanson enfantine Frère Jacques ; début du canon :

d’apres Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Canon_(musique)

/wiki/Fugue#Un_pas_de_plus_vers_la_fugue_:_le_canon )

La fugue

La fugue dans sa forme conventionnelle actuelle, c’est-à-dire telle que l’a léguée Bach, est en soi la résolution d’un problème de structure et de cohérence non résolu par les formes préexistantes. Le ricercare, le motet et autres formes anciennes souffraient d’un manque d’unité que la fugue, au sens moderne du mot, résout par une architecture aboutie dont Bach est considéré comme ayant définitivement fixé le cadre. La 16^e fugue (en sol mineur) du premier livre du Clavier bien Tempéré est très proche de cette forme archétypale, c’est cette forme qui est encore aujourd’hui employée à l’école.

L’analyse des grandes fugues fait apparaître, comme en toute forme musicale, une structure que l’on peut considérer comme un modèle dont le compositeur, dès lors qu’il le maîtrise, ne peut s’écarter qu’avec des arguments artistiques irréfutables. Nous allons donc décrire ici succinctement (une analyse plus approfondie exigerait un véritable cours de composition) ce qu’il est convenu d’appeler la fugue d’école.

La fugue commence par l’exposition d’un thème, dit « sujet »,

suivi de ce que l’on appelle la « réponse »,
qui n’est autre que le sujet répété au ton, soit de la dominante, soit plus rarement de la sous dominante, par une autre voix. Cette réponse est accompagnée par la première,

qui expose alors ce que l’on appelle le contre-sujet,
qui n’est qu’un accompagnement du sujet en contrepoint renversable. On appelle contrepoint renversable une mélodie dont l’accompagnement peut être placé sans incorrection au dessus ou en dessous de celle-ci. Cette exigence entraîne d’épineuses difficultés d’écriture.

Lorsque les trois ou quatre voix (voire cinq) ont exposé le thème,
survient alors, après des « divertissements » prenant généralement la forme de marches harmoniques (lesquels utilisent généralement des fragments du sujet ou du contre-sujet),

le développement.
Toute sortes de procédés d’écriture sont alors mis à contribution pour utiliser, voire déformer, le sujet ou le contre-sujet: variations, mutations, ornements, « minorisation » ou « majoration », etc. Cette partie de la fugue permet une plus grande liberté apparente. La cadence finale approchant, sont souvent utilisées ce que l’on appelle des strettes, autrement dit des canons où le sujet se chevauche lui-même, révélant alors qu’il a été écrit préalablement en prévision de cet épisode canonique.

Voici, à titre d’exemple, les premières mesures de la fugue en la mineur pour clavecin de Johann Sebastian Bach BWV.895,2 :

(d’apres Wikipedia : http://fr.wikipedia.org

 » A l’ESIL, gèle Deleglise…La!  »

qui n’a d’intérêt que parce que DD donne des cours a L’ ESIL tous les hivers…mais rassurez vous c’est chauffé.

DROST effect
http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=291

http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/

Autoréférence
http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Autoreference.htm

Pangrammes
http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Pan2.htm

palindromes
http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Palin2.htm

Oulipo, textes de Nicolas Graner
http://graner.net/nicolas/OULIPO/

Littérature :

Jean Ray : Malpertuis
André Gide : Palude
R. Queneau : exercice de style (ampoulé)

Jazzman utilisant canons et contrepoints :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moondog